Question

已知函數(shù)f(x)=

x -1，x≥1 1- x ，0≤x＜1

（1）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

a

+

b

的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）？如果存在，請求出m的取值范圍；反之，請說明理由．

Answer 1

（1）y=f（x）在[0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-

a

=

b

-1，
∴

a

+

b

=2；
（2）假設(shè)存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，有

a -1=ma b -1=mb

，此時a，b是方程mx-

x

+1=0的兩個根，
而m=-

1

x

+

1

x

，x＞1，令t=

1

x

∈（0，1），m=-t²+t，?0＜m＜

1

4

，
或t=

1

x

∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有

m＞0 1 2m ＞0 g(1)＞0 g(0)＞0

?0＜m＜

1

4

，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）．m的取值范圍為：（0，

1

4

）．