如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝，側棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(1)

求A1B與平面ABD所成角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示)

(2)

求點A1到平面AED的距離

答案：
解析：

(1)

　　解析：如圖所示建立空間直角坐標系，坐標原點為C，設CA=2a．則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1=(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(，，)．

　　∴=(，，)，=(0，－2a，1)∴·=－a2＋=0，解得a=1．∴=(2，－2，2)，=(，－，)，

　　∴cos∠A1BG=

　　　　　　　 =＝．

(2)

　　方法一：由(1)得A(2，0，0)，A1(2，0，2 )，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

　　·=(－1，1，1)·(－1，－1，0)=0，

　　·=(0，0，2)·(－1，－1，0)=0．

　　易知，點A1在平面AED的射影K在AE上．

　　設=λ，則

　　=→＋=(－λ，λ，λ－2)．

　　由·=0，即λ＋λ＋λ－2=0，解得λ=∴=(－，－)，∴｜｜=．故A1到平面AED的距離為．

　　方法二：建立空間直角坐標系O－zyz后有=(2，0，－1)，=(1，1，0)，=(0，0，2)．

　　設n=(x，y，z)是平面AED的法向量，則

　　

　　取x=1，則n=(1，－1，2)，

　　∴點A1到平面AED的距離為

　　d=

　　

　　＝．

　　點評：在空間直角坐標系中，若已知三角形三個頂點的坐標，則其重心的坐標分別為三個頂點相應坐標的算術平均數(shù)，這對本題的獲解十分關鍵．


練習冊系列答案
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（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大小；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點D是AB的中點.

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點,且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點A到平面BC1D的距離.

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