Question

已知函數(shù)，（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）當a=-1時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當a=0時，，f（-x）=-f（x）成立，所以f（x）是奇函數(shù)
當a≠0時，，f（1）=，這時f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）不滿足f（x）=f（-x）及f（x）=-f（-x）對任意的x都成立，故函數(shù)是非奇非偶數(shù)
綜上可得，當a=0時，函數(shù)為奇函數(shù)
當a≠0時，函數(shù)為非奇非偶數(shù)
（2）當a=-1時，
設x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）==
==
當x₁＜x₂∈（1，2]時，0＜x₁-1＜x₂-1≤1
則，x₁x₂-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是區(qū)間（1，2]的單調(diào)遞減函數(shù)．
當x₁＜x₂∈（2，+∞）時，同理可證函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
故函數(shù)f（x）是區(qū)間[1，2]的單調(diào)遞減函數(shù)，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
分析：（1）要判斷函數(shù)的奇偶性，只要檢驗f（-x）與f（x）的關系，由于，，故需考慮a是否為0，從而要對①a=0②a≠0兩種情況進行判斷
（2）當a=-1時，，要判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，只要設x₁＜x₂∈（1，+∞），然后通過判斷f（x₁）-f（x₂）=的正負可得斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可
點評：本題主要考察了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的定義的 應用，屬于基本方法的考察，解題的難點在于單調(diào)性的判斷中的變形定號時的計算．