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    已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+12-nan+1an-(n+1)an2=0
    ①求{an}通項公式;
    ②若數(shù)列{bn}滿足bk=
    (2k-1)an
    k!(n-k)!
    ,求{bn}的前n項和Sn
    ③若數(shù)列{cn}滿足cn=
    1
    an
    ,其前n項和為Tn,證明Tn
    43
    24
    分析:①對數(shù)列遞推式化簡,再疊乘,即可求{an}通項公式;
    ②確定數(shù)列通項,利用倒序相加法,即可求得結論;
    ③n≤2時,n結論成立;n≥4時,n!>2 n,即可證得結論.
    解答:①解:∵an+12-nan+1an-(n+1)an2=0
    ∴(an+1+an)[an+1-(n+1)an]=0
    ∵{an}是正項數(shù)列,
    ∴an+1-(n+1)an=0
    an+1
    an
    =n+1
    a2
    a1
    =2,
    a3
    a2
    =3,…,
    an
    an-1
    =n
    ∵a1=1,∴疊乘可得an=n!;
    ②解:bk=
    (2k-1)an
    k!(n-k)!
    =
    (2k-1)•n!
    k!(n-k)!
    =(2k-1)•
    C
    k
    n

    ∴Sn=
    C
    1
    n
    +3
    C
    2
    n
    +…+(2n-1)•
    C
    n
    n
    ,
    倒序可得Sn=(2n-1)•
    C
    n
    n
    +…+3
    C
    2
    n
    +
    C
    1
    n

    相加可得:2Sn=(2n-1)•
    C
    0
    n
    +(2n-2)•
    C
    1
    n
    +…+(2n-2)•
    C
    n-1
    n
    +(2n-1)•
    C
    n
    n
    =2+(2n-2)•2n
    ∴Sn=1+(n-1)•2n;
    ③證明:cn=
    1
    an
    =
    1
    n!

    n≤2時,n結論成立;n≥4時,∴n!>2 n,
    ∴其前n項和為Tn<1+
    1
    2
    +
    1
    6
    +
    1
    16
    +…+
    1
    2n
    =
    43
    24
    -
    1
    2n
    43
    24

    Tn
    43
    24
    點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項與求和,考查不等式的證明,綜合性強.
    練習冊系列答案
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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    已知正項數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
    (1)求證:數(shù)列{
    an
    2n+1
    }
    為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an
    (2)設bn=
    1
    an
    ,求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    定義:稱
    n
    a1+a2+…+an
    為n個正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
    1
    2n
    ,則
    lim
    n→∞
    nan
    sn
    (  )
    A、0
    B、1
    C、2
    D、
    1
    2

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    已知正項數(shù)列an中,a1=2,點(
    an
    ,an+1)
    在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
    1
    2
    x+3
    上,其中Tn是數(shù)列bn的前項和.(n∈N+).
    (1)求數(shù)列an的通項公式;
    (2)求數(shù)列bn的前n項和Tn

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
    (1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
    (2)記Tn為數(shù)列{
    1
    log2bn+1log2bn+2
    }
    的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
    1
    2
    a)
    對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    已知正項數(shù)列{an},Sn=
    1
    8
    (an+2)2

    (1)求證:{an}是等差數(shù)列;
    (2)若bn=
    1
    2
    an-30
    ,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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