Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-

x2-1

，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

（1）a=2時(shí)，f（x）≥f（1）可化為：2(x-1)≤

x2-1

，等價(jià)于：

x-1≥0 4(x-1)2≤x2-1

①或   

x-1＜0 x2-1≥0

②
解①得 1≤x≤

5

3

，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集為  {x|1≤x≤

5

3

或x≤-1}．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，則

f(x1)-f(x2)=(ax1- x12-1 )-(ax2- x22-1 )   =a(x1-x2)-( x12-1 - x22-1 )   =a(x1-x2)- x12-x22 x12-1 + x22-1   =(x1-x2)(a- x1+x2 x12-1 + x22-1 )

要使函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，需且只需：a＞

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立）．
因此，只要求出

x1+x2

x12-1 + x22-1

在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
為了探求這個(gè)代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此時(shí)

x1+x2

x12-1 + x22-1

→+∞；
若考慮x₁＜x₂→+∞，則不難看出，此時(shí)

x1+x2

x12-1 + x22-1

→1，至此我們可以看出：要使得函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，只需a≤1．
事實(shí)上，當(dāng)a≤1時(shí)，由于x1+x2＞

x12-1

+

x22-1

＞0恒成立，
所以，

x1+x2

x12-1 + x22-1

＞1．所以，在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞1時(shí)，由（1）可以看出：特例a=2的情況下，存在f(1)=f(

5

3

)．
由此可以猜想：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
為了說(shuō)明這一點(diǎn)，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨取x₁=1，此時(shí)，可求得x2=

a2+1

a2-1

＞1，也即：f(1)=f(

a2+1

a2-1

)=a，所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
另f′(x)=a-

x

x2-1

，對(duì)x∈[1，+∞），易知：
當(dāng)x→1時(shí)，

x

x2-1

→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，

x

x2-1

→1；
所以當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

x

x2-1

＞1，
從而只須a≤1，必有f'（x）＜0，函數(shù)在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞減．