Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=2ⁿ-1，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素a_ij=a_i•a_j+a_i+a_j，（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：由于該矩陣的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
則滿足2^i+j-1=2^m+n-1，得到i+j=m+n，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：當(dāng)i+j≠m+n時，a_ij≠a_mn，因此該矩陣元素能取到的不同數(shù)值為i+j的所有不同和，即可得出．

解答：解：該矩陣的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
當(dāng)且僅當(dāng)i+j=m+n時，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
因此該矩陣元素能取到的不同數(shù)值為i+j的所有不同和，其和為2，3，…，19，共18個不同數(shù)值．
故答案為：18．

點(diǎn)評：本題考查了簡單的合情推理，訓(xùn)練了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解答的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．