已知數(shù)列滿足
(
為常數(shù)),
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求p的值及數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列滿足
,證明:
.
(Ⅰ),
;(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)利用成等差數(shù)列.可求p的值,再用累加法求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)通過作差判斷數(shù)列的單調性或利用數(shù)學歸納法進行證明.
試題解析:(Ⅰ)由
得
∵成等差數(shù)列,
∴
即得
(2分)
依題意知,
當時,
相加得
∴
∴
(4分)
又適合上式,
(5分)
故
(6分)
(Ⅱ)證明:∵∴
∵ (8分)
若則
即當時,有
(10分)
又因為
(11分)
故
(12分)
(Ⅱ)法二:要證
只要證
(7分)
下面用數(shù)學歸納法證明:
①當時,左邊=12,右邊=9,不等式成立;
當時,左邊=36,右邊=36,不等式成立.
(8分)
②假設當時,
成立.
(9分)
則當時,左邊=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2,
要證3×9k2≥9(k+1)2 ,
只要正3k2≥(k+1)2 ,
即證2k2-2k-1≥0. (10分)
而當k即
且
時,上述不等式成立. (11分)
由①②可知,對任意,所證不等式成立.
(12分)
考點:1.等差中項;2.累加法求和;3.數(shù)列單調性;4.數(shù)學歸納法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知數(shù)列滿足
(
為常數(shù)),
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求p的值及數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列滿足
,證明:
.
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