Question

已知M（2，0），N（-2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|-|PM|=2，點(diǎn)P的軌跡為W，過(guò)點(diǎn)M的直線與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）若2

AM

=

MB

，求直線AB斜率k的值，并判斷以線段AB為直徑的圓與直線x=

1

2

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且a=1，c=2，b=

3

．
∴軌跡W的方程為x2-

y

3

2=1(x≥1)．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．
由

y=k(x-2) x2- y 3 2=1

得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．（5分）
設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

k2-3

＞0，①
x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，②
△=16k⁴+4（3-k²）（4k²+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k²＞3．（9分）
∵2

AM

=

MB

，
∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂），
∴x₂=6-2x₁．代入①②，得

4k2

k2-3

=6-x1，

4k2+3

k2-3

=x1(6-2x1)．
消掉x₁得k2=35，k=±

35

．（11分）
∵M(jìn)（2，0）為雙曲線右支的焦點(diǎn)，離心率e=2．由雙曲線的幾何性質(zhì)，
得|AB|=e(x1+x2)-2a=2×

4k2

k2-3

-2=

6(k2+1)

k2-3

．
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為Q，Q到直線l的距離為d，
則d=

x1+x2

2

-

1

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

．
∴d-

|AB|

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

-

3(k2+1)

k2-3

=-

3(k2+1)

2(k2-3)

＜0．
∴d＜

|AB|

2

，直線l與圓Q相交．（14分）