AB為定圓的直徑，C為該圓上異于A，B的任一點，l為過C點的圓的切線，過B引BP⊥l，且交AC的延長線于P，求點P的軌跡．

 

答案：
解析：

解法一：如下圖所示，以圓心O為原點，AB所在的直線為x軸，建立坐標系，則定圓方程為x2+y2=r2．

(因為C是動點，點P因點C動而動，故可)設P點坐標為(x，y)，C點坐標為(x1，y1)．(P點是直線AC，BP的交點，所以P點受直線AP和BP的制約，因此建立直線AP與BP的方程，來確定P點與C點坐標之間的關系式．)

因為C點不與點A，B重合，所以≠0，由過C點的切線l的方程為x+y=，直線BP⊥l，所以y1x－x1y－y1r=0①，再由點P在直線AC上，最后可得：

(x－r) 2+y2=4r2 (y≠0)即為所求P點的軌跡方程，其軌跡要除去x軸上的兩個點．

 

解法二：因為BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．

這說明當點C運動時，動點P距定點B的距離總等于常數(shù)2r．根據(jù)定義可得到：P點軌跡是以點B(r，0)為圓心，以2r為半徑的圓．因為C點不與A，B點重合，所以y≠0，所以點P的軌跡方程為(x－r)2+y2=4r2 (y≠0)．

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提示：

本題特點是動點P隨著相關點C的運動而運動，如果能用動點P的坐標(x，y)，表示相關點C的坐標(x1，y1)，則按照相關點C所滿足的條件列出方程，就能得動點P的軌跡方程．這種方法通常稱為相關點法，在解析幾何中經(jīng)常用到，應給予足夠的重視．

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練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數(shù)）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內(nèi)部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷
OM
•
OL
是否為定值？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點F（2，0）和定直線l：x=-2，動圓P過定點F與定直線l相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）若以M（2，3）為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

AB為定圓的直徑，C為該圓上異于A，B的任一點，l為過C點的圓的切線，過B引BP⊥l，且交AC的延長線于P，求點P的軌跡．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆福建晉江季延中學高二上學期期中考試理數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知定點F(2,0)和定直線，動圓P過定點F與定直線相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程.

（2）若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程

 

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