Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的正弦和余弦公式將函數(shù)f（x）展開再整理，可將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可求出最小正周期，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的值即可得到對(duì)稱軸方程．

（2）先根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求出最小值和最大值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)

（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因?yàn)?span id="0d9nunk" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=sin(2x-

π

6

)在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）取最大值1，
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--最小正周期、對(duì)稱性、和單調(diào)性．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．