Question

已知m＞0，n＞0，向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，且

a

⊥(

a

+

b

)，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　�。�

• A、9
• B、16
• C、18
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,基本不等式

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得m+n=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，
∴

a

+

b

=（m+1，n-2）．
∵

a

⊥(

a

+

b

)，
∴m+1+n-2=0，
化為m+n=1．
∵m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

4

n

=（m+n）(

1

m

+

4

n

)=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9．當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=

2

3

時(shí)取等號(hào)．
∴

1

m

+

4

n

的最小值為9．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．