Question

已知函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+3x+2的圖象相切，記F（x）=f（x）g（x）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值及函數(shù)F（x）的極值；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）=k恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f′（x）=g′（x），進(jìn)而求得x，進(jìn)而可知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的切點(diǎn)，把切點(diǎn)代入f（x）求得b，進(jìn)而求得函數(shù)F（x）的解析式，進(jìn)而對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，使其為0求得x，進(jìn)而推斷出函數(shù)F（x）的極大值和極小值．
（2）首先根據(jù)（1）中函數(shù)F（x）的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的草圖，作函數(shù)y=k的圖象，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)y=F（x）的圖象與函數(shù)y=k的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，關(guān)于x的方程F（x）=k恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．最后根據(jù)圖象確定k的范圍．
解答：解：（1）依題意，令f′（x）=g′（x），得1=2x+3，故x=-1
函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的切點(diǎn)為（-1，0）
將切點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）=x+b可得b=1
（或：依題意得f（x））=g（x），
即x²+2x+2-b=0有唯一實(shí)數(shù)解
故△=2²-4（2-b）=0，即b=1
∴F（x）=（x+1）（x²+2x+2）=x³+4x²+5x+2
故F′（x）=0，解得x=-1或x=-．
列表如下：

從上表可知處取得極小值．
（2）由（1）可知涵數(shù)y=F（x）大致圖象如圖所示．
作函數(shù)y=k的圖象，當(dāng)y=F（x）的圖象與函數(shù)y=k的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
關(guān)于x的方程F（x）=k恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．結(jié)合圖形可知．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決的能力．