Question

2014年年初，某微小企業(yè)開發(fā)某項新產(chǎn)品，先期投入5萬元啟動資金，計劃兩年內(nèi)逐月增加投入，已知2014年1月份投入資金0.1萬元，以后每月比上個月多投入資金0.1萬元，若該產(chǎn)品每個月的利潤組成數(shù)列{a_n}，a_n=

n 5 ，   n∈[1，12]，n∈N* 5 2 ，   n∈[13，24]，n∈N*

．
（Ⅰ）求前n個月的利潤總和；
（Ⅱ）設第n個月的利潤率b_n=

第n月利潤

前n-1個月投入的資金總和

，求兩年內(nèi)哪一個月的利潤率最大？并求出最大利潤率．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）利用分段函數(shù)，可求前n個月的利潤總和；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)，分別求出第n個月的利潤率，比較即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設前n個月的利潤總和為y，則
1≤n≤12時，y=

1

5

•

n(1+n)

2

=

n(1+n)

10

；
13≤n≤24時，y=

12•13

10

+

5

2

（n-12）=

5

2

n-

72

5

，
∴y=

n(1+n) 10 ，n∈[1，12]，n∈N* 5 2 n- 72 5 ，n∈[13，14]，n∈N*

；
（Ⅱ）1≤n≤12時，a_n=

n

5

，前n-1個月投入的資金總和為5+（n-1）•0.1+

(n-1)(n-2)

2

•0.1=5+

n(n-1)

20

，
∴b_n=

n 5

5+ n(n-1) 20

=

4

100 n +n-1

∈[

1

25

，

4

19

]；
13≤n≤24時，a_n=

5

2

，前n-1個月投入的資金總和為5+（n-1）•0.1+

(n-1)(n-2)

2

•0.1=5+

n(n-1)

20

，
∴b_n=

5 2

5+ n(n-1) 20

∈[

25

326

，

25

128

]，
∵

4

19

＞

25

128

，∴n=10時，利潤率最大為

4

19

．

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，屬于中檔題．