Question

如圖，已知圓錐底半徑為1，高VO=2，過(guò)VO的中點(diǎn)M作一個(gè)與圓錐底面成θ角且tanθ=3的平面，得到截口曲線．?dāng)?shù)學(xué)家Germinal Dandelin已經(jīng)證明該曲線是橢圓，求此橢圓的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：可作橢圓面在底面上的射影，即為圓面，設(shè)半徑為r，由于橢圓面與圓面所成的角為θ，則有∠MAB=θ，設(shè)AM=a，則有2acosθ=2r，再由tanθ=3，求得cosθ，解得a，再由b=r，求出c，運(yùn)用離心率公式，即可得到．

解答： 解：過(guò)VO的中點(diǎn)M作一個(gè)與圓錐底面成θ角且tanθ=3的平面，
其截口是一個(gè)橢圓，
可作橢圓面在底面上的射影，即為圓面，
設(shè)半徑為r，由于橢圓面與圓面所成的角為θ，
則有∠MAB=θ，設(shè)AM=a，則有2acosθ=2r，又tanθ=3，
由

sinθ

cosθ

=3，sin²θ+cos²θ=1，得cosθ=

1

10

，
即有a=

10

r，又b=r，則c=

a2-b2

=3r，
則離心率為e=

c

a

=

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，注意轉(zhuǎn)化思想，確定橢圓的a，b是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．