Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，若函數y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍；
（3）設定義在D上的函數y=h（x）在點p（x，h（x））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x時，若在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”，請你探究當a=4時，函數y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=2x-（a+2）+=，由f^′（x）＞0能求出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，f′（x）=2x+-6，其中x＞0，由f^′（x）=0求出極值點，把函數y=f（x）-m有三個不同的零點轉化為函數y=f（x）的圖象與直線y=m的交點問題解決；
（3）當a=4時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x，f（x））處的切線方程為y=m（x）=．由此能推導出y=f（x）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）=，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=．
∵a＞2，∴＞1．
當0＜x＜1及x＞時，f'（x）＞0；
當1＜x＜時，f'（x）＜0；
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），（，+∞）．
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，f′（x）=2x+-6==，其中x＞0，
當x∈（0，1），（2，+∞）時，f^′（x）＞0．
當x∈（1，2）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）時為增函數，
在x∈（1，2）時為減函數．
∴f（x）的極大值為f（1）=-5，極小值為f（2）=4ln2-8．
要使函數y=f（x）-m有三個不同的零點，即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有三個不同交點，
如圖，則m的取值范圍是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，當a=4時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x，f（x））處的切線方程為：
y=m（x）=，
設φ（x）=f（x）-m（x）=，
則φ（x）=0．
ϕ′（x）=2x+-6-（2x+-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-）
若x＜，φ（x）在（x，）上單調遞減，
∴當x∈（x，）時，φ（x）＜φ（x）=0，此時＜0；
若，φ（x）在（，x）上單調遞減，
∴當x∈（，x）時，φ（x）＞φ（x）=0，此時＜0．
∴y=f（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“類對稱點”．
若，＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數，
當x＞x時，φ（x）＞φ（x）=0，
當x＜x時，φ（x）＜φ（x）=0，故＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標．
點評：本題考查函數的單調增區(qū)間的求法，探索滿足函數在一定零點下的參數的求法，探索函數是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用，此題是難題．