Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于大于1的任意自然數(shù)n，都有

1

12

+

1

22

+

1

32

…

1

n2

＜2-

1

n

成立．

Answer 1

證明：①當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k＞1，k∈Z）時(shí)，不等式成立；
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊 ＜2-

1

k

+

1

(k+1) 2

，
下證：2-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 2-

1

k+1

即證：

1

k+1

-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 0，
即證

1

(k+1) 2

＜ 

1

k(k+1)

，?k+1＞k，這個(gè)是顯然成立的，
得結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
由①②根據(jù)歸納原理，不等式成立．
即得證．