已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線l1：x=
4
3
，右焦點(diǎn)F到短軸一個(gè)端點(diǎn)的距離為2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A（4，m）引橢圓的兩條切線AP、AQ，切點(diǎn)分別為P、Q
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）要使
S△APQ
|
PQ
|
最小，求
AQ
•
AP
的值．
分析：（I）由題意可得：a=2，所以c=
3
，所以b2=a2-c2=1，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（II）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題知y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，所以直線PQ的方程是x+my=1，可得直線PQ過(guò)定點(diǎn)．
（Ⅲ）要使
S△APQ
|
PQ
|
最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，A到直線PQ的距離d=
m2+1
+
2
m2+1
≥2
2
，當(dāng)m2=1時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?
AQ
•
AP
=（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+9+m2，所以再聯(lián)立直線與橢圓的方程解決．
解答：解：（I）因?yàn)橛医裹c(diǎn)F到短軸一個(gè)端點(diǎn)的距離為2，
所以a=2，
又因?yàn)?span id="xgejkqw" class="MathJye">
a2
c
=
4
3
，
所以c=
3
，
所以b2=a2-c2=1，
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
由題意可得：切點(diǎn)為P的橢圓的方程為：
x1x
4
+y1y=1，
因?yàn)辄c(diǎn)A（4，m）在切線AP上，所以有：x1+my1=1；
同理：x2+my2=1，
則直線PQ的方程：x+my=1，所以直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
（Ⅲ）由三角形的面積公式可得：
S△APQ
|
.
PQ
|
就是A到直線PQ的距離d的
1
2
，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：d=
|m2+3|
m2+1
=
m2+1
+
2
m2+1
≥2
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)m2=1時(shí)取得等號(hào)．
由
x+my=1
x2
4
+y2=1
可得：（m2+4）y2-2my-3=0，
所以y1+y2=
2m
m2+4
，y1y2=-
3
m2+4
，
所以
AQ
•
AP
=（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+9+m2=
m2-3
m2+4
+9+m2，
因?yàn)閙2=1，
所以
AQ
•
AP
=
48
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案