Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

1

=1（a＞1）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)

AF1

•

AF2

取最小值時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求得結(jié)論；
（II）設(shè)AC的直線方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＞0），代入橢圓的方程中，求出AB，AC的長，利用|AB|=|AC|，可得方程，考慮方程根的情況，即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0）．F₂（c，0），則

AF1

•

AF2

=x²+y²-c²
因?yàn)锳（x，y）在橢圓上，所以y2=1-

x2

a2

，
所以

AF1

•

AF2

=x2(1-

1

a2

)+1-c2
∵a＞1，∴當(dāng)x=0時(shí)，

AF1

•

AF2

取得最小值，此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，1）．
（Ⅱ）設(shè)兩個(gè)頂點(diǎn)為B，C，顯然直線AC斜率存在，不妨設(shè)AC的直線方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＞0），代入橢圓的方程中可得(

1

a2

+k2)x2+2kx=0，解得x₁=0（即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)），x₂=-

2k

1 a2 +k2

由弦長公式得：|AC|=

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

（k＞0）
同理：|AB|=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

由|AB|=|AC|，即

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

，
化簡得：（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0．
考慮關(guān)于k的方程k²+（1-a²）k+1=0，其判別式△=（1-a²）²-4
（1）當(dāng)△＞0時(shí)，a＞

3

，其兩根設(shè)為k₁，k₂，
由于k1+k2=a2-1＞0，k₁k₂=1＞0，故兩根必為正根，
顯然k₁≠1，k₂≠1，故關(guān)于k的方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形有三個(gè)．
（2）當(dāng)△=0時(shí)，a=

3

，此時(shí)方程k²+（1-a²）k+1=0的解k=1，故方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0只有一解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè)．
（3）當(dāng)△＜0時(shí)，顯然方程只有k=1這一個(gè)解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè)．
綜上：當(dāng)a＞

3

時(shí)，這樣的等腰直角三角形有三個(gè)；當(dāng)1＜a≤

3

時(shí)，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè)．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．