已知橢圓C的兩個焦點分別為F1和F2，且點A（-
5
，0），B（
5
，0）在橢圓C上，又F1(-
5
，4)．
（1）求焦點F2的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx+b（k＞0）與曲線C交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，求實數(shù)b的取值范圍．
（1）|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|，
∴|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=6-4=2，
故軌跡F為以A、B為焦點的雙曲線的右支．
設其方程為：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，x＞0)，
∵2a=2，
∴a=1，b2=c2-a2=4．
故軌跡方程為x2-
y2
4
=1(x＞0)．…（6分）
（2）由
x2-
y2
4
=1(x＞0)
y=kx+b
，消去y整理，得
方程（4-k2）x2-2kbx-（b2+4）=0有兩個正根x1，x2．
∴
△=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)＞0
x1x2=
b2+4
k2-4
＞0
x1+x2=
-2kb
k2-4
＞0
，
設M（x1，y1），N（x2，y2），由條件知x1x2+y1y2=0．
而y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2+b2，
∴（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
即
(k2+1)(b2+4)
k2-4
-
2k2b2
k2-4
+b2=0，
整理得3b2=4（k2+1），即b2=
4
3
(k2+1)，
∴b2-k2+4＞0，
即
4
3
(k2+1)-k2+4＞0顯然成立．
∴
k2＞4
kb＜0

而k＞0，∴b＜0．
∴b2=
4
3
(k2+1)＞
4
3
(4+1)=
20
3
．
∴b＜-
20
3
=-
2
15
3
．
故b的取值范圍為（-∞，-
2
15
3
）．…（13分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個焦點為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P為橢圓上一點，滿足∠F1PF2=60°．
（1）當直線l過F1與橢圓C交于M、N兩點，且△MF2N的周長為12時，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），拋物線E以坐標原點為頂點，F(xiàn)2為焦點．直線l過點F2，且交y軸于D點，交拋物線E于A，B兩點若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點A(1，
2
2
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點B（2，0），設點P是橢圓C上任一點，求
PF
1•
PB
的取值范圍．

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