Question

（2013•東城區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出函數(shù)f（x）極值；
（II）求導函數(shù)，再進行分類討論，利用導數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；利用導數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0；無極小值．
（II）f′（x）=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

若a=0，f′（x）=

1

x

＞0，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
若a≠0，令f′（x）=

-(2ax+1)(ax-1)

x

=0，∴x1=-

1

2a

，x2=

1

a

當a＞0時，函數(shù)在區(qū)間（0，

1

a

），f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間（

1

a

，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

a

），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

a

，+∞）
當a＜0時，函數(shù)在區(qū)間（0，-

1

2a

），f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間（-

1

2a

，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

2a

），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

2a

，+∞）．

點評：本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導數(shù)來解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題的能力，考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，配方法等數(shù)學思想與方法．