如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點，AC與BD的交點為M．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求證：BE⊥平面AED．
考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）連結EM，由三角形中位線定理能證明PC∥平面EBD．
（2）由已知條件得AD⊥平面PAB，從而得到AD⊥BE，由等邊三角形性質得BE⊥AE，由此能證明BE⊥平面AED．
解答： （1）證明：連結EM，∵四邊形ABCD是矩形，∴M為AC的中點，
∵E是PA的中點，∴EM是△PAC的中位線，
∴EM∥PC，
∵EM?平面EBD，PC不包含于平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，∴AD⊥BE，
又∵△PAB是等邊三角形，且E是PA的中點，
∴BE⊥AE，
又AE∩AD=A，
∴BE⊥平面AED．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）求f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωx-2sin2
ωx
2
+m（ω＞0）的最小正周期為3π，且當x∈[0，π]時，函數(shù)f（x）的最小值為0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）在△ABC中，角角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（c）=1且a+b=10，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點，∠PDA=45°，AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱錐M-PCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（Ⅰ）若P是A1B1的中點，求證：DP∥平面ACB1平行；
（Ⅱ）求證：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=2．AB=2
2
，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC1；
（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB1．
（Ⅲ）求CB1與平面AA1B1B所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

實數(shù)m為何值時，復數(shù)z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i 對應的點在：
（1）x軸上方；
（2）直線x+y+5=0上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠ABC=60°，E、F分別為BC、PD的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）求EF與平面ABCD所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l的參數(shù)方程為
x=2+t
y=
3
t
（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為：ρ2cos2θ=1．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

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同步練習冊答案