Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲線f（x）上是否存在一點(diǎn)P，使得在點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+3=0？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²-4x，由f′（x）=0得x₁=0，x₂=

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當(dāng)x在[-1，2]上變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下表

x	-1	（-1，0）	0	（0，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函數(shù)	1	減函數(shù)	-	增函數(shù)	1

由表格可知，函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值為1，最小值為-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x²-4x，
∴f/(x)∈[-

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3

，+∞)，即曲線上的點(diǎn)P處的切線的斜率的取值范圍是[-

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3

，+∞)
∵直線2x+y+3=0的斜率為-2，且-2∉[-

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3

，+∞)
∴曲線上不存在點(diǎn)P，使得P處的切線平行于直線2x+y+3=0．