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19．如圖：已知三角形ABC，∠ACB=90°，AB在平面α內，C不在平面α內，點C在平面α內的射影為O，CA，CB與平面α所成角分別為30°，45°，CD⊥AB，D為垂足，則CD與平面α所成角60°．

分析 設OC=a，利用勾股定理，求出AC，BC，AB，CD，可得sin∠CDO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進而得到CD與平面α所成角．

解答 解：設OC=a，
∵CA，CB與平面α所成角分別為30°，45°，
∴AC=2a，BC=$\sqrt{2}$a，
AB=$\sqrt{6}$a，CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
故sin∠CDO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故∠CDO=60°，
即CD與平面α所成角為60°，
故答案為：60°

點評 本題考查的知識點是直線與平面所成的角，難度中檔．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．已知函數f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}$x，x∈R．
（1）求$f（\frac{4π}{3}）$；
（2）求函數f（x）的最小正周期與單調減區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

10．如果一個點時一個指數函數和一個對數函數的圖象的交點，那么稱這個點為“好點”，下列四個點P1（1，1），P2（1，2），P3（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P4（2，2）中，“好點”的個數為（　　）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

7．已知二次函數y=f（x）的定義域為R，f（x）在x=m時取得最值，又知y=g（x）為一次函數，且f（x）+g（x）=x2+x-2．
（1）求f（x）的解析式，用m表示；
（2）當x∈[-2，1]時，f（x）≥-3恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．已知函數f（x）=x3-ax2-3x．
（Ⅰ）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數h（x）=2xlnx，對一切x∈（0，+∞），都有h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若x=3是函數f（x）的極值點，是否存在實數b，使得函數g（x）=-7x+b的圖象與函數f（x）的圖象恰有1個交點？若存在，請求出實數b的取值范圍，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

4．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，且AB=AD=DC=2，點M是BD的中點，現將平面四邊形ABCD沿對角線BD折起成四面體PBCD．
（1）當平面PBD⊥平面CBD時，求證：BP⊥平面PCD；
（2）在（1）的條件下，求二面角M-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

11．已知如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AP⊥平面ABCD，DC=2AB=2AD=2AP，點E、F、G分別是PB、PC、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AC∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

8．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M是BC上的點，且BM=$\frac{1}{2}$，
（1）證明：BC⊥平面POM；
（2）若邊PC與底面ABCD所成角的正切值為1，求平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

9．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，點M是側棱SC的中點．
（Ⅰ）求異面直線BM與CD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

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