Question

下列說法：
①已知

.

e

是單位向量|

.

a

+

.

e

|=|

.

a

-2

.

e

|，則

a

在

e

方向上的投影為

1

2

；
②函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

的對稱中心是(-

1

2

，-

1

2

)；
③將函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=2sin2x的圖象；
④在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
其中正確的命題序號是

 

（填出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡①由已知化簡可得

a

•

e

=

1

2

e

²，而要求的等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞，代入化簡，即可判斷正誤；利用分離常數(shù)法，對函數(shù)的解析式進行變形，進而求出對稱中心，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后函數(shù)的解析式，可判斷③；根據(jù)正弦定理，及三角形大角對大邊的性質(zhì)，可判斷④．

解答： 解：對于①，∵|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，
∴（|

a

+

e

|）²=（|

a

-2

e

|）²，
展開化簡可得：

a

•

e

=

1

2

e

²，
故

a

在

e

方向上的投影等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞=

a • e

| e |

=

1

2

，所以①正確．
對于②，函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

=

1

2

+

- 3 2

2x+1

，其中x≠-

1

2

，y≠

1

2

，故函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

的對稱中心是(-

1

2

，

1

2

)，故②錯誤；
對于③，將函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=sin（2x-

π

3

）的圖象，故③錯誤；
對于④在△ABC中，若A＜B，則a＜b，即2RsinA＜2RsinB，即sinA＜sinB，故④正確．
故正確的命題序號是：①④，
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了向量的投影與數(shù)量積運算，函數(shù)的對稱性，函數(shù)圖象的平移變換，正弦定理，難度中檔．