Question

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為2

3

的等邊三角形．若AB=4，則點(diǎn)B到平面ACD的距離是

 

；四面體ABCD外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離,球

分析：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作BF⊥AE于F，說明BF就是點(diǎn)B到平面ACD的距離，利用三角形面積公式求出距離．作出外接球的球心，找出半徑，即可求出表面積．

解答： 解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，
△BCD是邊長(zhǎng)為2

3

的等邊三角形．
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
∴CD⊥AE，BE⊥CD，AE∩BE=E，CD⊥平面ABE，
可得平面ACD⊥平面ABE，
作BF⊥AE于F，則BF就是點(diǎn)B到平面ACD的距離，
∵AB=4，BC=2

3

，△BCD是邊長(zhǎng)為2

3

的等邊三角形．∴BE=3，可得AE=5，
∴BF=

AB•BE

AE

=

12

5

．
△BCD的中心為：G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，
R=

BG2+( 1 2 AB)2

=

22+( 1 2 ×4)2

=2

2

．
四面體ABCD外接球的表面積為：4πR²=32π．
故答案為：

12

5

；32π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．