Question

【題目】設(shè)是一些互不相同的四元數(shù)組的集合，其中，或．已知的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)15，且滿足：若、，則、，其中，，．求集合元素個(gè)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

顯然，所有可能的四元數(shù)組有16種．因至少有一個(gè)四元數(shù)組不在中，

所以，、、、中至少有一個(gè)不在中．

若不然，由題設(shè)條件可推出所有四元數(shù)組都在中．

不妨設(shè)．

此時(shí)，由題設(shè)條件知、、中至少有兩個(gè)不能在中（設(shè)為和．則和不能同時(shí)在中（設(shè)不在中），

于是，的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)個(gè)．

設(shè)是所有可能的16個(gè)四元數(shù)組中去掉上述4個(gè)四元數(shù)組后所成的集合．

接下來(lái)用反證法證明滿足題目條件．

任取、．

（1）若，則，．故，．

不妨設(shè)，則在上述被去掉的4個(gè)四元數(shù)組中，矛盾．

（2）若，則，．故，．

不妨設(shè)，則在上述被去掉的4個(gè)四元數(shù)組中，矛盾