Question

計(jì)算

x2+8

x2+4

的最值時(shí)，我們可以將

x2+8

x2+4

化成

x2+4+4

x2+4

=

( x2+4 )2+4

x2+4

，再將分式分解成

x2+4

+

4

x2+4

，然后利用基本不等式求最值；借此，計(jì)算使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的正實(shí)數(shù)c的范圍是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意，將不等式的左邊進(jìn)行分離為

x2+c

+

1

x2+c

，這是積為定值的兩個(gè)式子的和．在x²+c=1時(shí)，即x²=-c+1≥0，它的最小值為2．此時(shí)c∈（0，1]．接下來(lái)討論當(dāng)c＞1時(shí)和0＜c≤1的兩種情況下不等式左邊的最小值，再解這個(gè)最小值大于或等于

1+c

c

，最后可得正實(shí)數(shù)c的范圍．

解答：解：根據(jù)已知條件給出的模型，得到啟發(fā)：

x2+1+c

x2+c

=

x2+c

x2+c

+

1

x2+c

=

x2+c

+

1

x2+c

≥2

x2+c • 1 x2+c

=2
當(dāng)且僅當(dāng)

x2+c

=

1

x2+c

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x²+c=1
①當(dāng)c＞1時(shí)，x²+c＞1，以上不等式的等號(hào)不能成立，
所以

x2+1+c

x2+c

的最小值應(yīng)該是x=0時(shí)的值，即(

x2+1+c

x2+c

) min =

1+c

c

因此不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對(duì)一實(shí)數(shù)x都成立，符合題意．
②當(dāng)0＜c≤1時(shí)，(

x2+1+c

x2+c

) min =2
若要使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
必須有：2≥

1+c

c

成立，可得
2

c

≥1+c⇒(

c

-1) 2≤0⇒c=1
綜上所述，c∈[1，+∞）
故答案為：[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以不等式恒成立和函數(shù)的最值為載體，考查了類比推理的方法，屬于中檔題．歸納推理與類比推理都屬于合情推理，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的常用推理過(guò)程．