Question

已知函數(shù)和函數(shù)g（x）=2^x-2^-x
（1）判斷的奇偶性，并判斷和證明y=lgh（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意h（x）===，代入檢驗h（-x）與h（x）的關(guān)系即可判斷函數(shù)的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
設(shè)0＜x₁＜x₂，則通過判斷h（x₁）-h（x₂）=的正負可先判斷h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可
（2）由函數(shù)h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數(shù)可得h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，整理可得恒成立（t=），從而可求λ的范圍
解答：解：（1）f（x）==，
∵h（x）===
∴==-h（x）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)  
=由h（x）＞0可得x＞0
設(shè)0＜x₁＜x₂，則h（x₁）-h（x₂）==
∵0＜x₁＜x₂，則，
∴h（x₁）＞h（x₂），lgh（x₁）＞lgh（x₂）
∴y₁＞y₂
函數(shù)y=lgh（x）在（0，+∞）上遞減…（6分）
（2）∵函數(shù)h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數(shù)
∴
∴恒成立
∴λ≥1…（8分）
點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷及理由定義證明、判斷函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，具有一定的綜合性．