Question

下列命題中，真命題是（ ）
A．?x∈R，使得sinx+cosx=2
B．?x∈（0，π），有sinx＞cos
C．?x∈R，使得x²+x=-2
D．?x∈（0，+∞），有e^x＞1+

Answer 1

【答案】分析：利用輔助角公式，可將sinx+cosx化這正切型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的值域，判斷A的真假；利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，舉出反例，可以判斷B的真假；根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)判定方法，可以判斷C的真假；構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)法，可以函數(shù)出函數(shù)的在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出D的真假，得到答案．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“?x∈R，使得sinx+cosx=2”不正確；
當(dāng)x=時(shí)，sinx＜cosx，故B“?x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正確；
∵方程x²+x=-2無解，故C“?x∈R，使得x²+x=-2”，不正確；
令f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e^x-x-1在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，
又∵f（0）=e^x-x-1=0，∴D“?x∈（0，+∞），有e^x＞1+x”正確；
故選D
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是全稱命題，特稱命題，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根的個(gè)數(shù)判定，函數(shù)恒成立問題，要判斷一個(gè)全稱命題錯(cuò)誤，只要舉出一個(gè)反例即可，而要想說明一個(gè)特稱命題為真命題，只要舉出一個(gè)正例即可．