Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），（n∈N^*），若S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013，則n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)條件，求出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，然后求出

Sn

n

=2n-1也為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），
∴S_n=na_n-2（n-1）n，
S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），
兩式相減得：
a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-2n（n+1）+2（n-1）n，
na_n+1-na_n-4n=0，
a_n+1-a_n=4，
所以a_n是等差數(shù)列，公差d=4，
∴a_n=4n-3，S_n=2n²-n，
則

Sn

n

=2n-1，為首項(xiàng)是1公差為2的等差數(shù)列，
則S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=

(1+2n-1)

2

×n=n²，
則S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013，
等價(jià)為n²-（n-1）²=2013，
即2n-1=2013，
解得n=1007，
故答案為：1007．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．