Question

請選做一題，都做時按先做的題判分，都做不加分．
（1）已知向量

m

=（2sinx，cosx-sinx），

n

=(

3

cosx，cosx+sinx)，函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
①求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若f(

A

2

)=2且a²=bc，試判斷△ABC的形狀．
（2）已知銳角△ABC，sin（A+B）=

3

5

，sin(A-B)=

1

5

．
①求證：tanA=2tanB；
②設(shè)AB=3，求AB邊上的高CD的長．

Answer 1

分析：（1）①用向量的數(shù)量積將函數(shù)f（x）的解析式表示出來后化簡成y=Asin（ωx+θ）可得答案．
②將

A

2

代入函數(shù)f（x）可求出A的值，再由余弦定理可得到b=c，從而得到答案．
（2）①根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開，可得sinAcosB=2cosAsinB，進而得到答案．
②根據(jù)正切函數(shù)的兩角和公式，得出tanA與tanB的關(guān)系，再通過①中tanA=2tanB求出tanA和tanB的值．再通過AB=AD+BD=

CD

tanA

+

CD

tanB

進而求出CD的值．

解答：解：（1）①f（x）=

m

•

n

=(2sinx，cosx-sinx)•(

3

cosx，cosx+sinx)
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
T=

2π

2

=π，值域為[-2，2]．
②∵f（

A

2

）=2sin（A+

π

6

）=2∴A=

π

3

∵a²=bc
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

=

1

2

∴b=c
∴△ABC為等邊三角形．
（2）①由sin(A+B)=

3

5

，sin(A-B)=

1

5

展開可整理得：

sinAcosB= 2 5 cosAsinB= 1 5

∴sinAcosB=2cosAsinB
∴tanA=2tanB
②∵

π

2

＜A+B＜π，sin(A+B)=

3

5

，
∵tan(A+B)=-

3

4

，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，
又∵tanA=2tanB，∴2tan2B-4tan2B-1=0．
∴tanB=1+

6

2

或tanB=1-

6

2

（舍），
∴tanA=2tanB=2+

6

，
∴AB=AD+BD=

CD

tanA

+

CD

tanB

=3，
∴CD=2+

6

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的兩角和公式的運用．此類題常綜合三角函數(shù)性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、向量等問題．