Question

一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口點(diǎn)A和一個(gè)運(yùn)算出口點(diǎn)B，按照某種運(yùn)算程序：
①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到

1

3

，記為f(1)=

1

3

；
②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n（n≥2）時(shí)，在B口得到的結(jié)果f（n）是前一個(gè)結(jié)果f（n-1）的

2(n-1)-1

2(n-1)+3

倍；
試問：當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2，3，4 時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想f（n）的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

由已知得f(n)=

2n-3

2n+1

f(n-1)(n≥2，n∈N*)
當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=

4-3

4+1

×f(1)=

1

5

×

1

3

=

1

15

，
同理可得f(3)=

1

35

，f(4)=

1

63

---------------------（4分）
猜想f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

&(*)

-------------------（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（*）成立
①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知（*）成立------（8分）
②假設(shè)n=k（k≥4，k∈N^*）時(shí)，（*）成立，即f(k)=

1

(2k-1)(2k+1)

，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=

2k-1

2k+3

f(k)=

2k-1

2k+3

•

1

(2k-1)(2k+1)

即f(k+1)=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）也成立---------------（13分）
綜合①②所述，對(duì)?n∈N^*，f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

成立．-----（14分）