Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且f（x）=0有三個(gè)根α，2，β（α≤2≤β），則|β-α|的取值范圍是

[3，+∞）

．

Answer 1

分析：由于f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在（0，2]上是減函數(shù)；得到x=0是f'（x）=0的根，求出c的值；根據(jù)2是f（x）=0的根得到8+4b+d=0，由于在（0，2]上是減函數(shù)得到f'（2）≤0求出b≤-3，根據(jù)f（x）=0有三根α，2，β；得到
f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），得到α+β+2=-b，-2αβ=d；得到|β-α|²=（b-2）²-16，求出其范圍．

解答：解：∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在（0，2]上是減函數(shù)；
∴x=0是f'（x）=0的根，
又∵f'（x）=3x2+2bx+c，
∴f'（0）=0，
∴c=0．
又∵f（x）=0的根為α，2，β，
∴f（2）=0，
∴8+4b+d=0，
又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，
∴b≤-3，
∵f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴α+β+2=-b，-2αβ=d；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，
∴|β-α|≥3，當(dāng)且僅當(dāng)b=-3時(shí)取最小值，此時(shí)d=4
故答案為：[3，+∞）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值處的導(dǎo)數(shù)為0，考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系；考查方程的根；考查二次函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．