Question

某集團(tuán)為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t（100萬元）可增加銷售額約為-t²+5t（100萬元）（0≤t≤3）．
（1）若該集團(tuán)將當(dāng)年的廣告費控制在300萬元以內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使集團(tuán)由廣告費而產(chǎn)生的收益最大？
（2）現(xiàn)在該集團(tuán)準(zhǔn)備投入300萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)算，每投入技術(shù)改造費x（100萬元），可增加的銷售額約為-

1

3

x³+x²+3x（100萬元）．請設(shè)計一個資金分配方案，使該集團(tuán)由這兩項共同產(chǎn)生的收益最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)投入廣告費t（100萬元）后由此增加的收益為f（t）（100萬元），列出函數(shù)的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值求解即可．
（2）設(shè)用于技術(shù)改造的資金為100x萬元，則用于廣告的費用為100（3-x）萬元，寫出這兩項所增加的收益表達(dá)式，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點，求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)投入廣告費t（100萬元）后由此增加的收益為f（t）（100萬元），
則f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0≤t≤3），
∴當(dāng)t=2時，f（t）_max=4．
即集團(tuán)投入200萬元廣告費，才能使由廣告費而產(chǎn)生的收益最大．-----------（6分）
（2）設(shè)用于技術(shù)改造的資金為100x萬元，則用于廣告的費用為100（3-x）萬元，則由這兩項所增加的收益為
g（x）=（-

1

3

x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=-

1

3

x³+4x+3（0≤t≤3）．
對g（x）求導(dǎo)，得g′（x）=-x²+4，令g′（x）=-x²+4=0，得x=2或x=-2（舍去）．
當(dāng)0≤x＜2時，g′（x）＞0，即g（x）在[0，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)2＜x≤3時，g′（x）＜0，即g（x）在（2，3]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=2時，g（x）_max=g（2）=

25

3

．
故在300萬元資金中，200萬元用于技術(shù)改造，100萬元用于廣告促銷，使集團(tuán)由此所產(chǎn)生的收益最大，最大收益為

2500

3

萬元．-----------12分

點評：本題考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值的方法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．