Question

已知定義在R上的函數(shù)(a，b，c，d為實常數(shù))的圖象關(guān)于原點對稱，且當x＝1時f(x)取得極值.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅱ）證明：對任意∈[－1，1]，不等式成立；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無零點，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）(－∞，1]

解析:

（Ⅰ）因為f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即d＝0.（1分）

又，即，則b＝0.

所以，.                                       

因為當x＝1時f(x)取得極值，則，且.

即，故.               

（Ⅱ）因為，則當－1≤x≤1時，.

所以f(x)在[－1，1]上是減函數(shù).                                              

所以當x∈[－1，1]時，，.              

故當∈[－1，1]時，.                        

（Ⅲ）因為，則，.      

由，得，即，即.

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，從而在處取極小值.                                                                      

又，若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無零點，則，所以，即m≤1.

故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1].