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設函數，其中mÎ R，集合M={m|m＞1}．

(1)求證：當mÎ M時，f(x)對所有實數x都有意義；反之，如果f(x)對所有實數x都有意義，那么mÎ M．

(2)當mÎ M時，求函數f(x)的最小值．

(3)求證：對每一個mÎ M，函數f(x)的最小值都不小于1．

答案：略
解析：

本題中所給函數是二次函數和對數函數的復合函數，因此在解答過程中應注意二次函數與對數函數性質的應用．

(1)證明：當mÎ M時，有m＞1，從而對所有實數x，都有：．

∴當mÎ M時，函數對所有的實數x都有意義．

反之，如果f(x)對所有實數x都有意義，則需對所有實數x，恒大于0，

∵，

∴應使，即．

由于，又必須m－1＞0，即m＞1．

從而mÎ M．

(2)∵在(0，＋∞)上是增函數，由(1)可知，當mÎ M時，，

∴．

又當x=2m時，．

∴當mÎ M時，f(x)的最小值為．

(3)當mÎ M時，有m＞1，∴m－1＞0．

此時，且在m=2時，取“=”號．

∴．∴，

即對于每一個mÎ M，函數f(x)的最小值都不小于1．

在解答第(1)問的過程中，兩次使用配方法，即和．在解答第(3)問時，也用了配方法，即．用配方法是解決二次函數問題的重要手段．


練習冊系列答案
相關習題

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（本小題滿分12分）已知二次函數的圖像經過坐標原點，且滿足，設函數，其中m為常數且。

   （1）求函數的解析式；

   （2）判斷函數的單調性并說明理由。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數數學公式，其中m為常數．
（i）求g（x）的單調遞增區(qū)間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有數學公式成立．

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21．設函數，其中m是實數，設M={m|m＞1}
（1）求證：當m∈M時，f（x）對所有實數x都有意義；反之，如果f（x）對所有實數x都有意義，則m∈M；
（2）當m∈M時，求函數f（x）的最小值；
（3）求證：對每一個m∈M，函數f（x）的最小值都不小于1．

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科目：高中數學 來源：2012年福建省寧德市高三畢業(yè)班質量檢查數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數，其中m為常數．
（i）求g（x）的單調遞增區(qū)間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有成立．

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