解:(1)∵5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
sinα+5cosα=8,
∴10(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
sinα+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
cosα)=8,即sin(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/602.png)
,(3分)
∵α∈(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
),∴α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
),
∴cos(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/41575.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
;(4分)
(2)又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
sinβ+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
cosβ=2,
∴2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
sinβ+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
cosβ)=2,即sin(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,(6分)
∵β∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
),∴β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/373.png)
),
∴cos(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,(7分)
∴cos(α+β)=sin[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
+(α+β)]=sin[(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)+(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)]
=sin(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)cos(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)+cos(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)sin(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/602.png)
×(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18315.png)
.(12分)
分析:(1)將等式5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
sinα+5cosα=8左邊提取10,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sin(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)的值,由α的范圍求出α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡即可求出cos(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)的值;
(2)等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
sinβ+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
cosβ=2左邊提取2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡,求出sin(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)的值,由β的范圍求出β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)的值,將所求式子利用誘導(dǎo)公式sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
+θ)=cosθ變形,其中的角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
+α+β變形為(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)+(β+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
),利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后,將各自的值代入即可求出值.
點(diǎn)評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握公式,靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵,同時(shí)注意角度的范圍.本題中靈活運(yùn)用角的變換的技巧達(dá)到了用已知表示未知,在求值題中,這是一個(gè)重要的經(jīng)驗(yàn)!