Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．求證：．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．解答時應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，首先驗證當(dāng)n=2時，然后假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立，再分析當(dāng)n=k+1時的情況，此時要注意一定要用上假設(shè)．最后下好結(jié)論即可．
解答：證明：記所證不等式為（*）式，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=2時，∵a₁=1∴
∵∴（*）式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N*）時，（*）式成立，
即有
那么，當(dāng)n=k+1時，
令（x＞1）∵∴在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
而
∴
即
先證①
兩邊同乘，即證
即證4k²-1＜4k²上式成立，∴①式成立．
再證②
兩邊同乘即證
即證9k²＜9k²+3k-2∵k≥2∴上式成立，則②式成立．
則
∴當(dāng)n=k+1時，（*）式也成立，
根據(jù)（1），（2）知，（*）式成立．
點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．解答時的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的思想、計算的能力以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會反思．