學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150的平行線段,溝寬2,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點為,對稱軸與地面垂直,溝深2,溝中水深1

)求水面寬;

)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?

)現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問改挖后的溝底寬為多少米時,所挖的土最少?

 

 

【答案】

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【解析】

試題分析:(建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為,由拋物線過點,可得,可求出拋物線方程為,當(dāng)時,,由求出水面寬為(米);

利用定積分求出曲面的面積,再利用柱體的體積公式求出體積;

易知為使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切,設(shè)切點是拋物線弧上的一點,過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形,則切線的方程為:,于是,記梯形的面積為,則,利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立,所以改挖后的溝底寬為米時,所挖的土最少.

試題解析:)如圖建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)拋物線方程為

則由拋物線過點,可得

于是拋物線方程為

當(dāng)時,,由此知水面寬為(米).

(立方米)

為使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切.

設(shè)切點是拋物線弧上的一點,過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形,則切線的方程為:,于是

記梯形的面積為,則,

當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立,所以改挖后的溝底寬為米時,所挖的土最少.

考點:1.拋物線的標(biāo)準方程;2.定積分的應(yīng)用;3.基本不等式在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用.

 

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