Question

 如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在CC₁上．設(shè)二面角A₁-DN-M的大小為θ（1）當(dāng)θ=90° 時(shí)，求AM 的長(zhǎng)；
（2）當(dāng) 時(shí)，求CM 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D-xyz，設(shè)CM=t（0≤t≤2），通過(guò)，求出平面DMN的法向量為，，求出平面A₁DN的法向量為，推出（1）利用θ=90°求出M的坐標(biāo)，然后求出AM的長(zhǎng)．
（2）利用cos=以及，求出CM 的長(zhǎng)．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D-xyz，設(shè)CM=t（0≤t≤2），則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0，0），A₁（1，0，2），
N（，1，0），M（0，1，t）；
所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）
設(shè)平面DMN的法向量為=（x₁，y₁，z₁），則，，
即x₁+2y₁=0，y₁+tz₁=0，令z₁=1，則y₁=-t，x₁=2t所以=（2t，-t，1），
設(shè)平面A₁DN的法向量為=（x₂，y₂，z₂），則，，
即x₂+2z₂=0，x₂+2y₂=0，令z₂=1則y₂=1，x₂=-2所以=（-2，1，1），

（1）因?yàn)棣?90°，所以 解得t=從而M（0，1，），
所以AM=
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214336028291604/SYS201310232143360282916021_DA/28.png">，所以，
cos==
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214336028291604/SYS201310232143360282916021_DA/33.png">=θ或π-θ，所以=解得t=0或t=
根據(jù)圖形和（1）的結(jié)論，可知t=，從而CM的長(zhǎng)為．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面，直線與直線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，向量法解答立體幾何問(wèn)題，方便簡(jiǎn)潔，但是注意向量的夾角，計(jì)算數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性．