如下圖示,正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 cm和6 cm,高是cm.求:
(1)三棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng);
(2)斜高;
(3)側(cè)棱與底面所成的角的正切值;
(4)側(cè)面與底面所成的角;
(5)側(cè)面積.
設(shè)O1、O分別是上、下底面中心,則O1O= 連結(jié)A1O1,并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1;連結(jié)AO,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D. 過(guò)A1作A1F⊥AD于點(diǎn)F,作D1E⊥AD于點(diǎn)E. (1)在Rt△A1AF中,A1F= ∴AA1= (2)在Rt△D1DE中,D1E= ∴斜邊上的高D1D= (3)∵A1F⊥底面ABC, ∴∠A1AF為側(cè)棱與底面所成的角. ∴tan∠A1AF= (4)方法一:∵D1D⊥BC,AD⊥BC, ∴∠D1DA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角. ∴tan∠D1DA= 方法二:(還臺(tái)為錐)設(shè)棱錐的高為h,利用OA=2OD, 得tan∠D1DE= (5)方法一:S側(cè)= 方法二:S側(cè)= 思路分析:利用圖中的直角三角形與直角梯形進(jìn)行求解. |
正棱錐、正棱臺(tái)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題,使高、斜高、斜高在底面上的射影,側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影,底面邊長(zhǎng)之半,邊心距,外接圓半徑及側(cè)棱和底面所成的角,側(cè)面和底面所成的二面角等元素轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊和角. “還臺(tái)體為錐體”有利于整體上把握本章內(nèi)容和公式.對(duì)正棱錐、正棱臺(tái),若側(cè)面與底面所成角為α,則可利用公式S正棱錐側(cè)= |
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