如下圖示,正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 cm和6 cm,高是cm.求:

(1)三棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng);

(2)斜高;

(3)側(cè)棱與底面所成的角的正切值;

(4)側(cè)面與底面所成的角;

(5)側(cè)面積.

答案:
解析:

  設(shè)O1、O分別是上、下底面中心,則O1O=cm.

  連結(jié)A1O1,并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1;連結(jié)AO,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.

  過(guò)A1作A1F⊥AD于點(diǎn)F,作D1E⊥AD于點(diǎn)E.

  (1)在Rt△A1AF中,A1F=cm,AF=AO-A1O1(6-3)=(cm),

  ∴AA1(cm).

  (2)在Rt△D1DE中,D1E=,DE=DO-D1O1(6-3)=(cm),

  ∴斜邊上的高D1D=(cm).

  (3)∵A1F⊥底面ABC,

  ∴∠A1AF為側(cè)棱與底面所成的角.

  ∴tan∠A1AF=

  (4)方法一:∵D1D⊥BC,AD⊥BC,

  ∴∠D1DA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角.

  ∴tan∠D1DA=.∴∠D1DA=60°.

  方法二:(還臺(tái)為錐)設(shè)棱錐的高為h,利用OA=2OD,

  得tan∠D1DE==2tan∠A1AF=

  (5)方法一:S側(cè)(3×3+3×6)×(cm2).

  方法二:S側(cè)=2(S-S)=2×(62-32)=(cm2).

  思路分析:利用圖中的直角三角形與直角梯形進(jìn)行求解.


提示:

  正棱錐、正棱臺(tái)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題,使高、斜高、斜高在底面上的射影,側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影,底面邊長(zhǎng)之半,邊心距,外接圓半徑及側(cè)棱和底面所成的角,側(cè)面和底面所成的二面角等元素轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊和角.

  “還臺(tái)體為錐體”有利于整體上把握本章內(nèi)容和公式.對(duì)正棱錐、正棱臺(tái),若側(cè)面與底面所成角為α,則可利用公式S正棱錐側(cè),S正棱臺(tái)側(cè)


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