Question

已知函數(shù)y=

2

x-1

，x∈[2，6]．試判斷此函數(shù)在x∈[2，6]上的單調(diào)性并求此函數(shù)在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，即可確定單調(diào)性，從而求出最值．

解答：解：設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=

2

x-1

是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)．
因此，函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2；當(dāng)x=6時(shí)，y_min=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)的最值及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形，屬于中檔題．