Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標原點時，求實數(shù)a的取值集合；

（2）證明：當時，函數(shù)有兩個零點，且滿足．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先利用導數(shù)的幾何意義和函數(shù)求出公切線方程，再將公切線方程與函數(shù)聯(lián)立，表示，再構造函數(shù)利用導數(shù)求出其單調區(qū)間和值域，可求出a的取值；

（2）要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可，而時函數(shù)的一個零點，所以只需再利用導數(shù)研究此函數(shù)的性質即可，由于兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上，若設則， 所以只需利用導數(shù)證明即可 .

解：（1）設公切線l與函數(shù)的切點為，則公切線l的斜率，公切線l的方程為：，將原點坐標代入，得，解得，公切線l的方程為：，

將它與聯(lián)立，整理得．

令，對之求導得：，令，解得．

當時，單調遞減，值域為，

當時，單調遞增，值域為，

由于直線l與函數(shù)相切，即只有一個公共點，

故實數(shù)a的取值集合為．

（2）證明：，要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可．，即時函數(shù)的一個零點．

對求導得：，令，解得．當時，單調遞增；

當時，單調遞減．當時，取最小值，，，必定存在使得二次函數(shù)，

即．因此在區(qū)間上必定存在的一個零點．

練上所述，有兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上．

下面證明．

由上面步驟知有兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上．

不妨設則，下面證明即可．

令，對之求導得，

故在定義域內單調遞減，，即．