Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+10x(x∈R)．
（1）若a=3，點(diǎn)P為曲線y=f（x）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出切線的斜率為k，把a(bǔ)=3代入f（x）確定出解析式，根據(jù)f（x）的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法得到導(dǎo)函數(shù)的最小值即為斜率k的最小值，然后把x=3代入f（x）中求出f（3）即為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率k的最小值寫出切線方程即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x大于0時(shí)為增函數(shù)，得到對(duì)于x大于0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值恒大于等于0，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0，解出a小于等于一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最小值，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)切線的斜率為k，
則f'（x）=x²-6x+10=（x-3）²+1，（2分）
顯然當(dāng)x=3時(shí)切線斜率取最小值1，
又f（3）=12，（4分）
∴所求切線方程為y-12=x-3，即x-y+9=0．（6分）
（2）f'（x）=x²-2ax+10．（8分）
∵y=f（x）在x∈（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)
即對(duì)任意的x∈（0，+∞），恒有f'（x）≥0，（10分）
即f'（x）=x²-2ax+10≥0．
∴a≤

x2+10

2x

=

x

2

+

5

x

，（12分）
而

x

2

+

5

x

≥

10

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

10

時(shí)，等號(hào)成立，
∴a≤

10

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件，掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．