Question

已知函數f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

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2

x2+（b-3）x．
（1）當a＞0且a≠1，f'（1）=0時，試用含a的式子表示b，并討論f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f'（x）有零點，f'（3）≤

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6

，且對函數定義域內一切滿足|x|≥2的實數x有f'（x）≥0．
①求f（x）的表達式；
②當x∈（-3，2）時，求函數y=f（x）的圖象與函數y=f'（x）的圖象的交點坐標．

Answer 1

分析：（1）此題考查的是函數的單調性和導數知識的綜合問題．在解答時應首先考慮函數的定義域優(yōu)先原則求出定義域，然后對函數求導，由導函數小于或小于零，即可獲得解答．
（2）①由（1）及f′(3)≤

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?a≤-3b-8又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零點在[-2，2]內，設g（x）=x²+bx+a，建立關于a，b的不等關系，結合（i）解得a，b．從而寫出f（x）的表達式；
②又設φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）與x軸在（-3，2）的交點，再利用導數研究其單調性，得出φ（x）與x軸有唯一交點（-2，0），即f（x）與f'（x）的圖象在區(qū)間（-3，2）上的唯一交點坐標為（-2，16）為所求．

解答：解：（1）f′(x)=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3）…（2分）
由f'（1）=0?b=-a-1，故f′(x)=

(x-1)(x-a)

x+3

0＜a＜1時     
由f'（x）＞0得f（x）的單調增區(qū)間是（-3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）單調減區(qū)間是（a，1）
同理a＞1時，f（x）的單調增區(qū)間（-3，1），（a，+∞），單調減區(qū)間為（1，a）…（5分）
（2）①由（1）及f′(3)≤

1

6

?a≤-3b-8（i）
又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零點在[-2，2]內，設g（x）=x²+bx+a，
則

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

?

a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4

，
由b²-4a≥0結合（i），解得b=-4，a=4…（8分）
∴f(x)=25ln(x+3)+

1

2

x2-7x…（9分）
②又設φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）與x軸在（-3，2）的交點
∵φ′(x)=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得 0＜（x+3）²＜25
故φ'（x）＞0，φ（x）在（-3，2）單調遞增
又φ（-2）=16-16=0，故φ（x）與x軸有唯一交點（-2，0）
即f（x）與f'（x）的圖象在區(qū)間（-3，2）上的唯一交點坐標為（-2，16）為所求 …（13分）

點評：此題考查的是函數的單調性和導數知識的綜合問題．在解答過程當中充分體現了定義于優(yōu)先的原則、求導的思想、問題轉化的思想．值得同學們體會反思．