Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+3-a（a，b，c∈R，且a≠0），當x=-1時，f（x）取得極值為2
（1）用關于a的代數式分別表示b與c
（2）當a=1時，當x∈[-2，1]，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵當x=-1時，f（x）取得極值為2
∴f′（-1）=3a-2b+c=0
f（-1）=-a+b-c+3-a=2
∴b=a+1，c=2-a
（2）當a=1時，b=2，c=1
∴f（x）=x³+2x²+x+2，∴f′（x）=3x²+4x+1
令f′（x）=3x²+4x-1=0，解得，x=1或
當 x變化時，f′（x）、f（x）變化情況如表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，-）	-	（-，1）	1
f′（x）		+		-	0	+
f（x）	0	↗	極大值2	↘	極小值	↗	6

∴x∈[-2，1]時，f（x）_max=f（1）=6，f（x）_min=f（-2）=0
分析：（1）因為當x=-1時，f（x）取得極值為2，所以f′（-1）=3a-2b+c=0，f（-1）=-a+b-c+3-a=2，據此就可把b，c用a表示．
（2）利用導數求最大值與最小值，先求導數，令導數等于0，得到極值點，再列表比較極值與端點函數值的大小，其中最大的為函數的最大值，最小的為函數的最小值．
點評：本題主要考察了利用導數求函數的極值和最值，注意解題格式．