Question

已知動圓C經(jīng)過點(0，m) (m>0)，且與直線y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點，使它們在該點處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）存在題設(shè)的公共點B，其坐標為(±2，4)，公切線方程為y＝2(x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)定義法確定軌跡為拋物線，然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數(shù)m的值；（Ⅱ）假設(shè)存在題設(shè)的公共點B(b， b²)．利用圓的切線性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解拋物線的切線方程的斜率建立等量關(guān)系，求解b的值進行論證.
試題解析：（Ⅰ）依題意，曲線E是以(0，m)為焦點，以y＝－m為準線的拋物線．
曲線E的方程為x²＝4my．                                     2分
設(shè)動圓圓心為A(a，)，則圓C方程為(x－a)²＋(y－)²＝(＋m)²，
令y＝0，得(x－a)²＝＋m²．
當a＝0時，圓C被x軸截得弦長取得最小值2m，于是m＝，
故曲線E的方程為x²＝2y．                                        5分
（Ⅱ）假設(shè)存在題設(shè)的公共點B(b， b²)．
圓C方程為(x－a)²＋(y－a²)²＝(a²＋)²，
將點B坐標代入上式，并整理，得(b－a)²[1＋ (a＋b)²]＝ (a²＋1)²．① 7分
對y＝x²求導(dǎo)，得y¢＝x，則曲線E在點B處的切線斜率為b．
又直線AB的斜率k＝＝ (a＋b)．
由圓切線的性質(zhì)，有 (a＋b)b＝－1．                        ②  8分
由①和②得b²(b²－8)＝0．
顯然b≠0，則b＝±2．                                        9分
所以存在題設(shè)的公共點B，其坐標為(±2，4)，公切線方程為
y＝2 (x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．     12分