Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，焦距為2，并且橢圓C上的點(diǎn)與焦點(diǎn)最短的距離是1。
（1）求橢圓C的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則k與m之間應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系？
（3）在（2）的條件下，且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A，求證：直線l必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵2c=2，a-c=1，
∴c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為。
（2）由方程組得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由題意：Δ=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）>0，
整理得3+4k²-m²>0 ①；
 （3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
即
整理得7m²+16mk+4k²=0，
解得m=-2k或，均滿足①
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l的方程為y=kx-2k，過定點(diǎn)（2，0），舍去；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過定點(diǎn)
故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為。