Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（1）證明：平面PBC⊥平面PDC；
（2）若∠PAB=120°，求點B到直線PC的距離．

Answer 1

分析 （1）延長BA，CD交于M點，連接MP，則BM=2，A是BM的中點，$PA=\frac{1}{2}BM$，可得MP⊥PB．利用側面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，可得BC⊥MP，MP⊥平面PBC，即可證明；
（2）過B點引BN⊥PC于N，BN為B到直線PC的距離．

解答 （1）證明：延長BA，CD交于M點，連接MP，則BM=2，A是BM的中點，
因為$PA=\frac{1}{2}BM$，
所以MP⊥PB，
又因為側面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，所以BC⊥平面PBM，
可得BC⊥MP，故MP⊥平面PBC，
因為MP?平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD．
（2）解：過B點引BN⊥PC于N，BN為B到直線PC的距離，
因為∠PAB=120°，PA=AD=AB=1，BC=2，
所以MP=1，PB=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{7}$，
因為BN×PC=BC×PB，
所以BN=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
所以點B到直線PC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面垂直，考查點到直線距離的計算，屬于中檔題．