Question

已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)，則下列說法正確的序號是

③④

①2a-3b+1＞0
②a≠0時，

b

a

有最小值，無最大值
③a＞0且a≠1，b＞0，

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

1

3

）∪（

2

3

，+∞）
④存在正實數(shù)M，使

a2+b2

＞M恒成立．

Answer 1

分析：由已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)可得2a-3b+1＜0，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得當(dāng)a＞0時，

b

a

＞

2

3

+

1

3a

，從而對①②作出判斷；對于③，利用式子蘊含的斜率的幾何意義即可解決．對于④，是看

a2+b2

有沒有極小值，據(jù)

a2+b2

的幾何意義即可得出；

解答：解：①由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①錯；
②當(dāng)a＞0時，由3b＞2a+1，可得

b

a

＞

2

3

+

1

3a

，∴不存在最小值，
∴②錯；
③∵

b

a-1

表示點（a，b）與點（1，0）連線的斜率，
如圖，由線性規(guī)劃知識可知，當(dāng)a＞0，b＞0時，

b

a-1

的取值范圍為：
（-∞，-

1

3

）∪（

2

3

，+∞）．③正確．
④

a2+b2

表示為（a，b）與（0，0）兩點間的距離，
由于原點（0，0）到直線2x-3y+1=0的距離d=

1

4+9

，
由此可得：

a2+b2

＞

1

4+9

=

13

13

恒成立，∴④正確；
故答案是：③④．

點評：本題主要考查了簡單線性規(guī)劃，用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．